Pesquisadores descobrem uma única forma que ladeia o plano aperiodicamente sem reflexão

Sep 10, 2023

5 de julho de 2023

Este artigo foi revisado de acordo com o processo editorial e as políticas da Science X. Os editores destacaram os seguintes atributos, garantindo a credibilidade do conteúdo:

verificado

fonte confiável

revisar

por Joe Petrik, Universidade de Waterloo

Recentemente, uma equipe internacional de quatro pessoas, que inclui o professor da Cheriton School of Computer Science, Dr. Craig Kaplan, descobriu uma forma única que ladeia o plano – uma superfície bidimensional infinita – em um padrão que nunca pode ser repetido.

A descoberta hipnotizou matemáticos, entusiastas de azulejos e também o público.

A forma, um polígono de 13 lados que eles chamaram de “o chapéu”, é conhecida pelos matemáticos como monótil aperiódico ou “einstein”, palavras alemãs que significam “uma pedra”.

Mas a descoberta mais recente da equipe elevou a fasquia mais uma vez. Encontraram outra forma, relacionada à primeira, que atende a uma definição ainda mais rigorosa. Apelidada de “espectro”, a nova forma forma um plano em um padrão que nunca se repete sem o uso de imagens espelhadas da forma. Por esse motivo, também foi chamado de "einstein vampiro" - uma forma que se forma aperiodicamente sem exigir sua reflexão.

"Nosso primeiro artigo resolveu o problema de Einstein, mas como a forma exigia reflexão para ser ladrilhada aperiodicamente, as pessoas levantaram uma questão legítima: existe uma forma que pode fazer o que o chapéu faz, mas sem reflexão", explica Kaplan. "Foi uma sorte termos encontrado uma forma que não apenas resolve esse subproblema, mas também o resolveu logo após o primeiro artigo."

Para os matemáticos, o chapéu e sua imagem espelhada são uma forma única, mas no mundo físico as formas canhotas e destras podem se comportar de maneira diferente. Você não pode, por exemplo, usar uma luva para destros na mão esquerda.

“Se você revestisse o chão de um grande banheiro periodicamente com ladrilhos em forma de chapéu esmaltados de um lado, precisaria de chapéus e imagens espelhadas de chapéus”, diz Kaplan.

Mas não foi esse problema que motivou a recente descoberta.

A descoberta do vampiro Einstein começou com as reflexões de David Smith, um técnico de impressão aposentado e que se autodenomina um hobby de formas de Yorkshire, Inglaterra, cuja curiosidade meses antes levou à descoberta original de Einstein.

“Dave nos enviou um e-mail alguns dias depois que nosso chapéu foi colocado online para dizer que ele estava brincando com uma forma relacionada que parecia estar se comportando de maneira estranha”, diz Kaplan. "Yoshiaki Araki, um matemático japonês e artista conhecido cujo trabalho segue o espírito de MC Escher, postou fotos de Tile(1,1) que deixaram Dave interessado em examiná-lo mais detalhadamente."

Yoshiaki postou uma pergunta intrigante no Twitter: "Um mosaico de tartaruga aperiódico baseado no novo monotile aperiódico Tile(1, 1.1). No ladrilho, diz-se que cerca de 12,7% dos ladrilhos são refletidos. O verde é um exemplo. Mais um a tartaruga refletida está escondida no ladrilho. Quem é o refletido?'"

"Yoshi transformou Tile(1,1) em tartarugas e é um pouco difícil ver a outra tartaruga refletida naquela imagem. Mas isso deixou Dave curioso. E se colocarmos lado a lado com esta forma, mas sem reflexos? Enquanto ele fazia isso, Dave descobriu que ele poderia construir telhas progressivamente para fora em um padrão que não parava e não se repetia."

Mas então essa forma veio com um problema diferente. Como explica Kaplan, se você usar reflexões de Tile(1,1) o padrão se repete. Em outras palavras, é periódico. Mas se Tile(1,1) for modificado substituindo suas arestas retas por curvas, ele se tornará um vampiro einstein – uma forma única que, sem reflexão, coloca o plano infinito em um padrão que nunca poderá ser repetido.